Диаграммы Юнга, плоские разбиения и знакочередующиеся матрицы — Сколько есть способов разбить натуральное число в сумму нескольких слагаемых, если суммы, отличающиеся только порядком слагаемых, считаются одинаковыми? Оказывается, что на этот, казалось бы, элементарный вопрос нет простого ответа. Зато теория, начинающаяся с этого вопроса, оказывается очень интересной, а ее результаты находят применение в самых разных разделах математики и математической физики. Настоящая брошюра написана по материалам лекций, прочитанных автором на летней школе «Современная математика» в Дубне в июле 2013 года. Она рассчитана на старшеклассников и студентов младших курсов.

Название: Диаграммы Юнга, плоские разбиения и знакочередующиеся матрицы
Автор: Смирнов Е. Ю.
Издательство: МЦНМО
Год: 2014
Страниц: 66
Формат: PDF
Размер: 31,81 Мб
Качество: Отличное
Серия: Летняя школа «Современная математика»

Содержание:

Введение
Лекция 1. Разбиения
1.1. Разбиения и диаграммы Юнга
1.2. Напоминание о производящих функциях
1.3. Разбиения на нечетные и различные слагаемые
1.4. Пятиугольные числа
Лекция 2. q-биномиальные коэффициенты
2.1. Диаграммы Юнга и биномиальные коэффициенты
2.2. Определение q-биномиальных коэффициентов
2.3. Производящая функция Эйлера как следствие формулы
для q-биномиальных коэффициентов
2.4. q-бином Ньютона
2.5. Тождество Якоби для тройного произведения
Лекция 3. Плоские разбиения и формула Макмагона
3.1. Плоские разбиения
3.2. Подсчет числа плоских диаграмм высоты
3.3. Детерминантная формула Линдстрёма—Гесселя—Вьенно
3.4. Определитель Вандермонда
3.5. Вычисление числа плоских разбиений в параллелепипеде
3.6. Производящие функции и формула Макмагона
3.7. Предельная форма формулы Макмагона
Лекция 4. Знакочередующиеся матрицы и их связь с плоскими разбиениями
4.1. Тождество Деснано-Якоби
4.2. Комбинаторное доказательство тождества Деснано-Якоби
4.3. «Конденсация определителей» по Доджсону
4.4. А-определители и знакочередующиеся матрицы
4.5. Гипотеза о знакочередующихся матрицах
4.6. Плоские разбиения с дополнительными симметриями
4.7. Вполне симметричные самодополнительные плоские разбиения
Литература